本文受丘维声教授2011年在北大的公开课启发，将课程的主要思想进行了大致提炼。

什么是数学的思维方式

观察：观察纷繁复杂的客观现象，提出要研究的问题，抓住主要特征{矛盾}。

例如古埃及人在尼罗河畔种地，就遇到了分配土地的问题：如何将形状不规则的土地均等地分配给沿河的农民？
再比如运算。在数学中经常会遇到加法，乘法等对两个数进行处理的操作。加法和乘法有什么共同点？（都是两个元素经过某个程序后输出一个元素，并且这些运算还满足了某些性质）

抽象：就是要从观察到的现象中，找到共同点，去给出科学的定义（能够严丝合缝地代表这些共同点）；或者是发现用已有的工具就可以建立好的模型。

例如古埃及人抽象出了正方形，三角形，圆形等基本图形，之后几乎所有形状都可以用这些基本图形的组合来表达。

探索：运用直觉、使用例子（来解剖分析）、类比、归纳、联想

我认为这属于初步但最重要的阶段。好的数学家一定是能够熟练运用这五大分析方式。
* 直觉就是使用经验，猜测可能会有什么规律。比较著名的例子就是物体下落速度和重量之间的关系。
* 例子或者类比是进一步理解抽象问题，以求突破的重要手段。就比如小学学分数的时候，1/2和1/4就可以用切蛋糕作为例子。同时物理学也是数学的重要应用领域，所以有很多伟大的物理学家同时也是数学家。
* 归纳：经典的数学归纳法就是这一思想的结晶，求数列的通项公式就属于此类。
* 联想：需要创造力，例如数形结合，可以将代数问题可视化，也可以将几何问题数量化。再比如交叉学科，可以结合两个学科的固有优势，解决单一领域知识难以解决的问题。

猜测：通过上面的分析，发现了这些现象中可能蕴含的一些规律。

论证：数学的灵魂。只能由公理为起点，抽象出的定义以及已有的定理进行逻辑推理，以及计算。（数学不能用显然来证明）

定理：终于揭示，并证实出了事物的内在规律。

整个过程就是从无序变成有序，此即数学（或者说所有科学）的魅力之所在。
未完待续…